Matemática básica Ejemplos

$(\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}) (\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (\frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n})$

Paso 1

Multiplica $\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}$ por $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{m}{n}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{m}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{n}{m}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $n m$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{m}{n}$ por $\frac{m}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{n}{m}$ por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $n m$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 m n \frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Eleva $m$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.5.2

Eleva $m$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 m n \frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.5.5

Reescribe $n \cdot n$ como $n^{2}$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n^{2}}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.5.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = m$ y $b = n$ .

$\frac{2 m n \frac{(m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.6

Combina exponentes.

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Paso 2.6.1

Combina $2$ y $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ .

$\frac{m n \frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.6.2

Combina $m$ y $\frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}$ .

$\frac{n \frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.6.3

Combina $n$ y $\frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}$ .

$\frac{\frac{n (m (2 ((m + n) (m - n))))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.7

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.8

Reduce la expresión $\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{(m \cdot 2 (m + n)) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.9

Cancela el factor común de $m$ .

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Paso 2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.9.2

Divide $(2 (m + n)) (m - n)$ por $1$ .

$\frac{(2 (m + n)) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 m + 2 n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.11

Expande $(2 m + 2 n) (m - n)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 m (m - n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.12

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.12.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.12.1.1

Multiplica $m$ por $m$ sumando los exponentes.

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Paso 2.12.1.1.1

Mueve $m$ .

$\frac{2 (m \cdot m) + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.12.1.1.2

Multiplica $m$ por $m$ .

$\frac{2 m^{2} + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.12.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 m^{2} + 2 \cdot - 1 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.12.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.12.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n \cdot n}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.12.1.5

Multiplica $n$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 2.12.1.5.1

Mueve $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 (n \cdot n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.12.1.5.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.12.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.12.2

Suma $- 2 m n$ y $2 n m$ .

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Paso 2.12.2.1

Mueve $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 m n - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.12.2.2

Suma $- 2 m n$ y $2 m n$ .

$\frac{2 m^{2} + 0 - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.12.3

Suma $2 m^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.13

Factoriza $2$ de $2 m^{2} - 2 n^{2}$ .

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Paso 2.13.1

Factoriza $2$ de $2 m^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2}) - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.13.2

Factoriza $2$ de $- 2 n^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.13.3

Factoriza $2$ de $2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})$ .

$\frac{2 (m^{2} - n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 2.14

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = m$ y $b = n$ .

$\frac{2 (m + n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $m + n$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $m + n$ de $2 (m + n) (m - n)$ .

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (m - n)}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $m - n$ y ${(m - n)}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $m - n$ de $2 (m - n)$ .

$\frac{(m - n) \cdot 2}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

Paso 3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $m - n$ de ${(m - n)}^{2}$ .

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{m - n} (m^{2} + m n + n^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{2}{m - n}$ por $m^{2} + m n + n^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2} + m n + n^{2})}{m - n}$